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Zeitleiste des Menelaos von Alexandria



BIOGRAFIE

Geboren: ca. 70 in (möglicherweise) Alexandria, Ägypten
Gestorben: ca. 130
Obwohl wir wenig über Menelaos aus Alexandrias Leben wissen, zeichnet Ptolemaios astronomische Beobachtungen auf, die Menelaos in Rom am 14. Januar des Jahres 98 machte. Diese Beobachtungen schlossen die Bedeckung des Sterns Beta Scorpii durch den Mond ein.

Er tritt auch in einem Werk von Plutarch auf, der ein Gespräch zwischen Menelaos und Lucius beschreibt, in dem Lucius sich bei Menelaos entschuldigt, dass er daran zweifelt, dass Licht, wenn es reflektiert wird, dem Gesetz gehorcht, dass der Einfallswinkel dem Reflexionswinkel entspricht. Lucius sagt (siehe zum Beispiel [1]):-

In Ihrer Gegenwart, mein lieber Menelaos, schäme ich mich, einen mathematischen Satz zu widerlegen, gleichsam die Grundlage, auf der das Thema der Katoptrie ruht. Es muss jedoch gesagt werden, dass der Satz "Alle Reflexion geschieht unter gleichen Winkeln" weder selbstverständlich noch eine anerkannte Tatsache ist.

Dieses Gespräch soll wohl lange nach 75 n. Chr. in Rom stattgefunden haben, und wenn unsere Vermutung, dass Menelaos im Jahr 70 n. Chr. geboren wurde, fast richtig ist, dann muss es viele Jahre nach 75 n. Chr. gewesen sein.

Über das Leben von Menelaos ist nur sehr wenig bekannt, außer dass er sowohl von Pappus als auch von Proklos Menelaos von Alexandria genannt wird. Alles, was wir daraus ableiten können, ist, dass er sowohl in Rom als auch in Alexandria einige Zeit verbracht hat, aber das wahrscheinlichste Szenario ist, dass er als junger Mann in Alexandria lebte, möglicherweise dort geboren wurde und später nach Rom zog.

Ein im 10. Jahrhundert verfasstes arabisches Mathematikerregister verzeichnet Menelaos wie folgt (siehe [1]):-

Er lebte vor Ptolemaios, da dieser ihn erwähnt. Er verfasste: "Das Buch der sphärischen Sätze", "Über die Kenntnis der Gewichte und Verteilung verschiedener Körper". Drei Bücher über die "Elements of Geometry", herausgegeben von Thabit ibn Qurra, und "The Book on the Triangle". Einige davon wurden ins Arabische übersetzt.

Von den vielen Büchern von Menelaos hat nur Sphaerica überlebt. Es befasst sich mit sphärischen Dreiecken und deren Anwendung auf die Astronomie. Er war der erste, der die Definition eines kugelförmigen Dreiecks niederschrieb und die Definition am Anfang von Buch I gab:-

Ein sphärisches Dreieck ist der Raum, der von Großkreisbögen auf der Oberfläche einer Kugel eingeschlossen wird. diese Bögen sind immer kleiner als ein Halbkreis.

In Buch I von Sphaerica legte er die Grundlage für die Behandlung von sphärischen Dreiecken wie von Euklid behandelte ebene Dreiecke. Er benutzte Großkreisbögen anstelle von Bögen paralleler Kreise auf der Kugel. Dies markiert einen Wendepunkt in der Entwicklung der sphärischen Trigonometrie. Menelaos scheint jedoch mit der von Euklid häufig verwendeten Beweismethode durch reductio ad absurdum unzufrieden zu sein. Menelaos vermeidet diese Art des Beweisens von Sätzen und führt daher Beweise für einige der Sätze an, bei denen Euklids Beweis durch ganz andere Methoden leicht auf den Fall sphärischer Dreiecke übertragen werden könnte.

Es ist auch erwähnenswert, dass [3]:-

In mancher Hinsicht ist seine Behandlung vollständiger als Euklids Behandlung des analogen ebenen Falles.

Buch 2 wendet sphärische Geometrie auf die Astronomie an. Es folgt weitgehend den Sätzen von Theodosius in seiner Sphaerica, aber Menelaos liefert wesentlich bessere Beweise.

Buch 3 befasst sich mit der sphärischen Trigonometrie und enthält den Satz von Menelaos. Für ebene Dreiecke war der Satz vor Menelaos bekannt:-

. wenn eine Gerade die drei Seiten eines Dreiecks schneidet (eine der Seiten wird über die Eckpunkte des Dreiecks hinaus verlängert), dann ist das Produkt von drei der so gebildeten nicht benachbarten Liniensegmente gleich dem Produkt der drei verbleibenden Liniensegmente von das Dreieck.

Menelaos erstellte eine sphärische Dreiecksversion dieses Satzes, die heute auch als Satz von Menelaos bezeichnet wird und als erster Satz in Buch III erscheint. Die Aussage wird in Bezug auf sich schneidende Großkreise auf einer Kugel gegeben.

Viele Übersetzungen und Kommentare von Menelaos Sphaerica wurden von den Arabern angefertigt. Einige davon sind erhalten, unterscheiden sich jedoch erheblich und erschweren eine genaue Rekonstruktion des Originals. Andererseits wissen wir, dass einige der Werke Kommentare zu früheren Kommentaren sind, so dass es leicht zu erkennen ist, wie das Original verschleiert wird. Detaillierte Diskussionen dieser arabischen Übersetzungen finden sich in [6], [9] und [10].

Es gibt andere Werke von Menelaos, die von arabischen Autoren erwähnt werden, die jedoch sowohl in der griechischen als auch in ihren arabischen Übersetzungen verloren gegangen sind. Wir haben oben ein Zitat aus dem arabischen Register des 10. Es zeichnet auch ein anderes Werk von Menelaos mit dem Titel Buch über Dreiecke auf und obwohl dieses nicht überlebt hat, wurden Fragmente einer arabischen Übersetzung gefunden.

Proklos bezog sich auf ein geometrisches Ergebnis des Menelaos, das in dem erhaltenen Werk nicht vorkommt und vermutlich aus einem der eben erwähnten Texte stammen muss. Dies war ein direkter Beweis eines Theorems in Euklids Elementen und angesichts der Abneigung von Menelaos für reductio ad absurdum in seinen erhaltenen Werken scheint dies eine natürliche Linie für ihn zu sein. Der neue Beweis, den Proklos Menelaos zuschreibt, ist der Satz (in Heaths Übersetzung von Euklid):

Wenn bei zwei Dreiecken die beiden Seiten gleich zwei Seiten sind, aber die Basis der einen größer als die der anderen ist, wird auch der Winkel, der von den gleichen Geraden der ersten eingeschlossen wird, größer als der der anderen sein.

Ein anderer arabischer Hinweis auf Menelaos legt nahe, dass seine Elemente der Geometrie Archytas' Lösung des Problems der Verdoppelung des Würfels enthielten. Paul Tannery argumentiert in [8], dass dies wahrscheinlich macht, dass eine Kurve, von der Pappus behauptet, dass Menelaos ausführlich diskutiert hat, die Doppelkrümmungskurve von Viviani war. Bulmer-Thomas kommentiert in [1]:

Es ist eine attraktive Vermutung, die jedoch aufgrund der vorliegenden Beweise nicht beweisbar ist.

Einige arabische Schriftsteller glauben, dass Menelaos einen Text über Mechanik geschrieben hat. Es wird behauptet, dass der Text Waagen untersuchte, die von Archimedes und von Menelaos selbst entwickelt wurden. Menelaos interessierte sich insbesondere für spezifische Gewichte und die Analyse von Legierungen.


Menelaos von Alexandria Timeline - Geschichte

Die Anfänge der Trigonometrie

Joseph Jagd
Geschichte der Mathematik
Rutgers, Frühjahr 2000

Die alten Griechen verwandelten die Trigonometrie in eine geordnete Wissenschaft. Die Astronomie war die treibende Kraft hinter den Fortschritten in der Trigonometrie. Die meisten frühen Fortschritte in der Trigonometrie waren in der sphärischen Trigonometrie hauptsächlich wegen ihrer Anwendung auf die Astronomie. Die drei Hauptfiguren, die wir in der Entwicklung der griechischen Trigonometrie kennen, sind Hipparchos, Menelaos und Ptolomy. Es gab wahrscheinlich andere Mitwirkende, aber im Laufe der Zeit gingen ihre Werke verloren und ihre Namen wurden vergessen.

"Auch wenn er es nicht erfunden hat, ist Hipparchos der erste Mensch, für dessen systematische Anwendung der Trigonometrie wir dokumentarische Beweise haben." (Heath 257) Einige Historiker gehen sogar so weit zu sagen, dass er die Trigonometrie erfunden hat. Über das Leben von Hipp archus ist nicht viel bekannt. Es wird angenommen, dass er in Nicäa in Bithynien geboren wurde. (Sarton 285) Die Stadt Nicäa heißt heute Iznik und liegt im Nordwesten der Türkei. Nicäa wurde im 4. Jahrhundert v. Chr. gegründet und liegt am Ostufer des Iznik-Sees. Er ist einer der größten Astronomen aller Zeiten. Wir wissen aus den Hinweisen des Ptolemäus, dass er von 161 bis 127 v. Chr. astronomische Beobachtungen machte. (Sarton 285) Leider sind fast alle seine Werke verloren, und es bleibt nur sein Kommentar zu den Phainomena des Eudoxos von Knidos und ein Kommentar zu einem astronomischen Gedicht von Aratos von Soloi. (Sarton 285) Das meiste, was wir über Hipparchos wissen, stammt aus Ptolemäus Almagest und einigen Bemerkungen anderer Autoren. Die einzige trigonometrische Funktion, die von den alten Griechen verwendet wurde, ist der Akkord, der eng mit der Sinusfunktion (Toomer 7) verwandt ist. Von Ptolemäus ist bekannt, dass Hipparchos eine Akkordtabelle erstellt hat, die ein wesentliches Werkzeug in der frühen Entwicklung der Trigonometrie waren. Nach Theon von Alexandria, der in Alexandria als Lehrer für Mathematik und Astronomie tätig war, schrieb Hipparchos in zwölf Büchern eine Abhandlung über Akkorde im Kreis, die verschollen ist (Sarton 286). Es wird angenommen, dass diese Abhandlung eine allgemeine trigonometrische Theorie zusammen mit einigen Tabellen enthielt.

Hipparchos soll der erste Mensch gewesen sein, der die Zeiten des Auf- und Untergangs der Tierkreiszeichen genau bestimmt hat. Pappus von Alexandria, der im 4. in Zeiten, die eine bestimmte Beziehung zueinander haben, zeigen nicht überall die gleichen Beziehungen zwischen den Zeiten, in denen sie aufgehen." (Heath 257) Andere Mathematiker und Astronomen der Zeit, darunter Euklid, Autolycus und Theodosius, konnten nur beweisen, dass die Zeiten mehr oder weniger zueinander konnten sie die tatsächlichen Zeiten nicht berechnen. (Heide 257-258). „Da Hipparchos entsprechende Sätze mit Zahlen bewiesen hat, können wir nur schlussfolgern, dass er Sätze in der sphärischen Trigonometrie verwendet hat, indem er mit Hilfe von Tabellen Bögen aus anderen berechnete.“ (Heath 258).

Für seine astronomischen Arbeiten benötigte Hipparchos eine Tabelle mit trigonometrischen Verhältnissen. Es wird vermutet, dass er zu diesem Zweck die erste Akkordtabelle berechnet hat. Er betrachtete jedes Dreieck als in einen Kreis eingeschrieben, so dass jede Seite zu einem Akkord wurde. Während Akkorde in einigen Spezialfällen mit euklidischem Wissen leicht zu berechnen waren, hätte Hipparchos, um seine Tabelle zu vervollständigen, viele Formeln der ebenen Trigonometrie kennen müssen, die er entweder selbst abgeleitet oder von anderswo entlehnt hatte. Hipparchos wird zugeschrieben, dass er die Idee von Hypsicles verallgemeinerte, die Ekliptik in 360 Grad zu unterteilen, eine Idee, die von den babylonischen Astronomen übernommen wurde, indem jeder Kreis in 360 Grad unterteilt wurde (Sarton 287). Er teilte den Durchmesser in 120 Einheiten ein und drückte Größen kleiner als Grad als sexagesimale Brüche (Sarton 287) im babylonischen Stil aus.

Nach Hipparchos war Menelaos der nächste griechische Mathematiker, von dem bekannt ist, dass er einen Beitrag zur Trigonometrie geleistet hat. Wir wissen sehr wenig über das Leben von Menelaos. Ptolemaios erwähnt, dass Menelaos im Jahr 98 n. Chr. in Rom beobachtete (Toomer). So wird angenommen, dass er um 70 n. Chr. geboren wurde (Geschichte der Mathematik). Sowohl Pappus als auch Proklos nennen ihn Menelaos von Alexandria (Heide 260), so dass wir annehmen können, dass er einen Teil seiner Zeit in Rom und einen Großteil seiner Zeit in Alexandria verbracht hat. Er schrieb eine sechs Bücher umfassende Abhandlung über Akkorde, die von Theon von Alexandria erwähnt wurde, aber diese Bücher sind alle verloren gegangen. (Heath 260) Sein einziges überliefertes Werk ist ein aus drei Büchern bestehendes Werk namens Sphaerica, dessen drittes Buch einige ausgezeichnete Informationen über die Entwicklung der Trigonometrie enthält und das früheste überlieferte Werk über sphärische Trigonometrie ist. Leider geht die griechische Version dieses Textes verloren, und es bleibt nur eine arabische Version, die tausend Jahre nach der Abfassung des Originals übersetzt wurde. Erschwerend kommt hinzu, dass im Laufe der Jahre verschiedene Übersetzer ihre Kommentare in die Arbeit aufgenommen haben, und es wird schwierig, das Original von den Kommentatoren zu trennen. Dennoch bietet diese Arbeit noch immer eine gute Quelle für die Entwicklung der griechischen Trigonometrie.

Im ersten Buch der Sphaerica gibt es die erste bekannte Vorstellung und Definition eines kugelförmigen Dreiecks (Heath 262). Menelaos beschreibt ein sphärisches Dreieck als die Fläche, die von Bögen von Großkreisen auf der Oberfläche einer Kugel eingeschlossen wird, mit der Einschränkung, dass jede der Seiten oder Schenkel des Dreiecks ein Bogen kleiner als ein Halbkreis ist. Er fährt dann fort, die Hauptsätze über sphärische Dreiecke zu geben, die den Sätzen von Euklid über ebene Dreiecke entsprechen. (Heide 263). Das zweite Buch hat nur astronomisches Interesse. Das dritte Buch enthält trigonometrische Verhältnisse. Der erste Satz im dritten Buch ist der Satz von Menelaos in Bezug auf ein sphärisches Dreieck und jede Transversale (Großkreis), die die Seiten eines Dreiecks schneidet. Anstatt ein kugelförmiges Dreieck zu verwenden, drückt er seinen Vorschlag in Form von zwei sich schneidenden Großkreisen aus. "Zwischen zwei Großkreisbögen ADB, AEC sind zwei weitere Großkreisbögen DFC und BFE, die sie schneiden und sich auch in F schneiden. Alle Bögen sind kleiner als ein Halbkreis." (Heath 266). Er fährt dann fort zu beweisen


Dies ist der Satz von Menelaos für die sphärische Trigonometrie. In Menelaos' Beweis unterschied er drei oder vier verschiedene Fälle. Unten ist ein Diagramm des Satzes von Menelaos für die ebene Trigonometrie:

Der Rest des dritten Buches besteht aus trigonometrischen Sätzen, die für astronomische Arbeiten notwendig waren. Der letzte große Beitrag zur Trigonometrie in der griechischen Zeit ist Ptolomy. Über das tatsächliche Leben des Ptolemaios ist nur sehr wenig bekannt. Er machte in den Jahren 127-41 n. Chr. astronomische Beobachtungen von Alexandria in Ägypten aus. Die erste Beobachtung, die wir genau datieren können, wurde von Ptolemaios am 26. März 127 gemacht, die letzte am 2. Februar 141. Es gibt keinen Beweis dafür, dass Ptolemaios anderswo als in Alexandria war. Heath sagt: "Es ist offensichtlich, dass kein Teil der Trigonometrie oder der ihr vorausgehenden Materie bei Ptolemäus neu war. Er hat von früheren Abhandlungen abstrahiert und auf den kleinstmöglichen Raum das Minimum an notwendigen Sätzen verdichtet." die verwendeten Methoden und Formeln festzulegen." (276) Andere Mathematikhistoriker glauben, dass Ptolemaios die von Hipparchos begonnene Arbeit vollendete, einige notwendige Details ausarbeitete und neue Tabellen zusammenstellte. Es ist schwer zu sagen, welche Ergänzungen und Modifikationen Ptolemäus an bereits bestehenden Werken vorgenommen hat. Toomer nennt den Almagest ein Meisterwerk der Klarheit und Methode, das jedem alten wissenschaftlichen Lehrbuch überlegen ist und nur wenige seinesgleichen aus jeder Epoche findet. Aber es ist viel mehr als das. Weit davon entfernt, eine bloße Zusammenstellung früherer griechischer Astronomie zu sein, wie sie manchmal beschrieben wird, ist es in vielerlei Hinsicht ein Originalwerk.

Wie dem auch sei, Ptolemaios Almagest ist unsere wichtigste Informationsquelle über Hipparchos und die alexandrinische Trigonometrie. "Der enzyklopädische Charakter des Almagest, sein hoher Wert und seine formale Perfektion waren wahrscheinlich die Hauptursachen für den Verlust von Hipparchos' Originalschriften. Die frühen Kopisten müssen das Gefühl gehabt haben, dass der Almagest frühere Schriften obsolet und überflüssig machte." (Sarton 286). Die Verwendung der Sinus-, Kosinus- und Tangensfunktionen lag mehrere hundert Jahre in der Zukunft. Die Akkordtabelle kann jedoch in Formeln verwendet werden, die den heutigen Formeln für die trigonometrischen Funktionen äquivalent sind. Die Akkordtabelle im Almagest ist wahrscheinlich die gleiche wie die Hipparchos-Tabelle oder eine Erweiterung davon, aber wir können nicht sicher sein, da wir keine Kopie von Hipparchos-Tabelle haben, um sie zu vergleichen. (Heath 259) Die Akkordtabelle von Ptolemäus wird für Bögen vervollständigt, die Winkel von 1/2 Grad auf 180 Grad in Schritten von 1/2 Grad aufweiten. Um seine Akkordtabelle berechnen zu können, muss Ptolemäus die Äquivalente mehrerer trigonometrischer Identitäten und Formeln kennen. Ptolemäus war sich der Formel (Akkord 2x) + (Akkord (180x - 2x)) = 4r bewusst, die äquivalent zu sin x + cos x = 1 ist. Ptolemäus verwendete auch eine Formel, die später als Satz von Ptolemäus bekannt wurde. Diese Formel ist Akkord (a-b) = 1/2 (Akkord a Akkord (180-b)) - (Akkord b Akkord (180-a)) wobei a und b Winkel sind. "Pt Olemy muss seine Berechnungen auf fünf Sexagesimalstellen durchgeführt haben, um die Genauigkeit zu erreichen, die er an dritter Stelle macht." (Toomer 57-58). Die Berechnungen des Ptolemäus sind genau genug, um heute nützlich zu sein. Hier ist eine Teiltabelle der Akkorde des Ptolemäus aus Toomer:

Die Akkordtabelle entspricht einer Sinustabelle für alle Zentriwinkel 0 Grad bis 90 Grad im Abstand von 15' und kann somit zur Lösung jedes ebenen Dreiecks verwendet werden, sofern mindestens eine Seite bekannt ist. Die Funktion sin x entspricht 1/2 (chord 2x) und cos x entspricht 1/2 chord(180-2x) . Der Almagest enthält auch trigonometrische Theoreme, die dem heutigen Sinusgesetz und den zusammengesetzten Winkel- und Halbwinkel-Identitäten entsprechen. Die Vermutung ist, dass auch Hipparchos davon gewusst und sie möglicherweise erfunden haben muss.

Sowohl Heath als auch Neugebauer haben vorgeschlagen, dass die Anfänge der Trigonometrie als geordnete Wissenschaft einige Jahre vor Hipparchos zurückgehen. "Der früheste erhaltene Beweis für die Herangehensweise an spezifisch trigonometrische Probleme findet sich in der Abhandlung Über die Größen und Entfernungen von Sonne und Mond von Aristarch, geschrieben um 250 v. Chr." (Neugebauer 773). Aristarchos machte von einer wichtigen Ungleichung Gebrauch, die den Ungleichungen Sin x . entspricht

Mit Hilfe solcher Ungleichungen schätzte Aristarch die Zahlenwerte trigonometrischer Funktionen in einigen speziellen Fällen kleiner Winkel. Einige Jahrzehnte später verwendete Archimedes dieselbe Formel. al-Biruni hat ein Lemma von Archimedes erhalten, das zeigt, dass ihm eine äquivalente Version des Satzes des Ptolemäus zur Verfügung stand (Neugebauer 773). In Menelaos' Werk gibt es eine Bemerkung, die darauf hindeutet, dass einer der trigonometrischen Sätze Apollonius zugeschrieben werden kann, der einige Jahre vor Hipparchos lebte (Heath 253). "Gerberei (aus seinen Recherches sur l'hist. De l'astronomic ancienne, S. 64) . schlug vor, dass nicht nur Apollonius, sondern auch Archimedes vor ihm eine Akkordtabelle zusammengestellt oder zumindest den Weg zu einer solchen Zusammenstellung gezeigt haben könnte. " (Heide 253)


Leben und Werk

Obwohl über Menelaos Leben nur sehr wenig bekannt ist, wird vermutet, dass er in Rom lebte, wohin er wahrscheinlich nach seiner Jugend in Alexandria zog. Er hieß Menelaos von Alexandria sowohl von Pappus von Alexandria als auch von Proklos, und ein Gespräch von ihm mit Lucius in Rom wird von Plutarch aufgezeichnet.

Ptolemaios (2. Jahrhundert CE) erwähnt auch in seinem Werk Almagest (VII.3), zwei astronomische Beobachtungen von Menelaos in Rom im Januar des Jahres 98. Dies waren Bedeckungen der Sterne Spica und Beta Scorpii durch den Mond, einige Nächte auseinander. Ptolemäus nutzte diese Beobachtungen, um die Präzession der Tagundnachtgleichen zu bestätigen, ein Phänomen, das Hipparchos im 2. Jahrhundert v. Chr. entdeckt hatte.

Sphaerica ist das einzige erhaltene Buch in arabischer Übersetzung. Es besteht aus drei Büchern und befasst sich mit der Geometrie der Kugel und ihrer Anwendung bei astronomischen Messungen und Berechnungen. Das Buch führt das Konzept des sphärischen Dreiecks (Figuren aus drei großen Kreisbögen, die er "Dreiseiten" nannte) ein und beweist den Satz von Menelaos über die Kollinearität von Punkten an den Kanten eines Dreiecks (der möglicherweise bereits bekannt war) und sein Analogon für sphärische Dreiecke. Es wurde später von dem Astronomen und Mathematiker Francesco Maurolico aus dem 16. Jahrhundert übersetzt.


Menelaos

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Menelaos, in der griechischen Mythologie, König von Sparta und jüngerer Sohn von Atreus, König von Mykene, führte die Entführung seiner Frau Helen zum Trojanischen Krieg. Während des Krieges diente Menelaos unter seinem älteren Bruder Agamemnon, dem Oberbefehlshaber der griechischen Streitkräfte. Als Phrontis, einer seiner Besatzungsmitglieder, getötet wurde, verzögerte Menelaos seine Reise, bis der Mann begraben war, was seine Charakterstärke unter Beweis stellte. Nach dem Fall Trojas erholte Menelaos Helena und brachte sie nach Hause. Menelaos war eine prominente Figur in der Ilias und der Odyssee, wo ihm nach seinem Tod ein Platz in Elysium versprochen wurde, weil er mit einer Tochter des Zeus verheiratet war. Der Dichter Stesichorus (blühte 6. Jahrhundert v. Chr.) führte eine Verfeinerung der Geschichte ein, die von Euripides in seinem Stück verwendet wurde Helena: Es war ein Phantom, das nach Troja gebracht wurde, während die echte Helena nach Ägypten ging, von wo aus sie von Menelaos gerettet wurde, nachdem er auf dem Heimweg von Troja zerstört worden war und das Phantom Helen verschwunden war.


Leben und Werk

Die Geschichte schweigt fast völlig über alle biographischen Details von Menelaos. Alles, was wir wissen, ist, dass er 98 n. Chr. in Rom eine Reihe astronomischer Beobachtungen machte und dass er dem griechischen Schriftsteller Plutarch (ca. 45-50 n. Chr. – ca. 120-125 n. Chr.) bekannt war. Wir kennen auch die Titel mehrerer seiner Werke, meist durch Verweise in den Werken anderer, insbesondere späterer arabischer Schriftsteller und Verfasser (heute größtenteils verlorener) alter Texte. Zu diesen Arbeiten gehören:

  • Kugeln (Sphaerica) – Menelaos’ wichtigstes Werk, das als arabische Übersetzung überliefert ist. Es befasst sich mit der mathematischen Untersuchung von Sphären und deren Auswirkungen auf das Thema Astronomie. Die Arbeit ist in drei Bücher unterteilt, von denen das erste sphärische Dreiecke untersucht, sie definiert und Theoreme vorschlägt, die auf der Arbeit des griechischen Mathematikers Euklid aus dem 4. bis 3. Jahrhundert v. Chr. über einfache Dreiecke basieren. Dies ist die früheste erhaltene detaillierte Studie über sphärische Dreiecke. Das zweite Buch befasst sich mit sphärischen Themen mit Beobachtungen zur Astronomie ähnlich denen von Euklid und dem Astronomen und Mathematiker Theodosius von Bithynien (um 100 v. Chr.). Das dritte Buch ist eine viel innovativere Abhandlung über die grundlegenden Prinzipien der sphärischen Trigonometrie, wiederum die früheste bekannte derartige Studie. Es stellt den Satz von Menelaos (siehe unten) und die Regel der vier Größen und das Tangentengesetz vor.
  • Spezifische Gewichte – ein weiteres erhaltenes Werk in arabischer Übersetzung. Dieses Buch wurde dem römischen Kaiser Domitian (reg. 81-96 n. Chr.) gewidmet.
  • Elemente der Geometrie – Drei Bücher, die der persische Gelehrte al-Biruni (geb. 973 n. Chr.) erwähnt hat, und wahrscheinlich eine Sammlung von Problemen der euklidischen Geometrie.
  • Eine Abhandlung über Akkorde in einem Kreis, möglicherweise eine Form einer frühen trigonometrischen Tabelle. Auf dieses Werk bezieht sich der Mathematiker und Kommentator Theon von Alexandria aus dem 4. Jahrhundert n. Chr.
  • Ein Werk über die Tierkreiszeichen, auf das sich der Mathematiker Pappus von Alexandria aus dem 4. Jahrhundert n. Chr. bezieht.
  • Drei im 10. Jahrhundert n. Chr. erwähnte Werke Fihrist, ein arabischer Katalog von Ibn al-Nadim. Diese sind Buchen Sie im Dreieck, Zur Kenntnis der Gewichte und der Verteilung verschiedener Körper, und ein Werk ohne Titel über Mechanik. Diese Texte enthielten möglicherweise Menelaos Schätzung der Präzession der Tagundnachtgleichen.

  1. ^Encyclopaedia Britannica "Griechischer Mathematiker und Astronom, der als erster ein sphärisches Dreieck (ein Dreieck, das aus drei Bögen von Großkreisen auf der Oberfläche einer Kugel besteht) konzipiert und definiert hat."
  • Ivor Bulmer-Thomas. "Menelaos von Alexandria." Wörterbuch der wissenschaftlichen Biographie 9:296-302.
  • Pedro Pablo Fuentes González, „Ménélaos d’Alexandrie“, in R. Goulet (Hrsg.), Dictionnaire des Philosophes Antiquitäten, Bd. IV, Paris, CNRS, 2005, p. 456-464.

Leben und Werk [Bearbeiten]

Obwohl über Menelaos Leben nur sehr wenig bekannt ist, wird vermutet, dass er in Rom lebte, wohin er wahrscheinlich nach seiner Jugend in Alexandria zog. Er hieß Menelaos von Alexandria sowohl von Pappus von Alexandria als auch von Proklos, und ein Gespräch von ihm mit Lucius in Rom wird von Plutarch aufgezeichnet.

Ptolemaios (2. Jahrhundert CE) erwähnt auch in seinem Werk Almagest (VII.3), zwei astronomische Beobachtungen von Menelaos in Rom im Januar des Jahres 98. Dies waren Bedeckungen der Sterne Spica und Beta Scorpii durch den Mond, einige Nächte auseinander. Ptolemäus nutzte diese Beobachtungen, um die Präzession der Tagundnachtgleichen zu bestätigen, ein Phänomen, das Hipparchos im 2. Jahrhundert v. Chr. entdeckt hatte.

Sphaerica ist das einzige erhaltene Buch in arabischer Übersetzung. Es besteht aus drei Büchern und befasst sich mit der Geometrie der Kugel und ihrer Anwendung bei astronomischen Messungen und Berechnungen. Das Buch führt das Konzept des sphärischen Dreiecks (Figuren aus drei großen Kreisbögen, die er "Dreiseiten" nannte) ein und beweist den Satz von Menelaos über die Kollinearität von Punkten an den Kanten eines Dreiecks (der möglicherweise bereits bekannt war) und sein Analogon für sphärische Dreiecke. Es wurde später von dem Astronomen und Mathematiker Francesco Maurolico aus dem 16. Jahrhundert übersetzt.


Frühe Entwicklungen

Sumerische Astronomen untersuchten die Winkelmessung, indem sie eine Teilung von Kreisen in 360 Grad verwendeten. Α] Sie und später die Babylonier untersuchten die Seitenverhältnisse ähnlicher Dreiecke und entdeckten einige Eigenschaften dieser Verhältnisse, machten daraus jedoch keine systematische Methode zum Auffinden von Seiten und Winkeln von Dreiecken. Die alten Nubier verwendeten eine ähnliche Methode. Β]

Die alten Ägypter und Babylonier kannten seit vielen Jahrhunderten Sätze über die Seitenverhältnisse ähnlicher Dreiecke. Aber vorhellenischen Gesellschaften fehlte das Konzept eines Winkelmaßes und folglich wurden stattdessen die Seiten von Dreiecken untersucht, ein Gebiet, das besser als "Trilaterometrie" bezeichnet werden sollte. Γ]

Babylonische Mathematik

Die babylonischen Astronomen führten detaillierte Aufzeichnungen über den Auf- und Untergang der Sterne, die Bewegung der Planeten sowie die Sonnen- und Mondfinsternisse, die allesamt mit den auf der Himmelskugel gemessenen Winkelabständen vertraut waren. Δ]

Basierend auf einer Interpretation der Keilschrifttafel von Plimpton 322 (um 1900 v. Chr.) haben einige sogar behauptet, dass die alten Babylonier eine Sekantentafel hatten. Ε] Es gibt jedoch viele Diskussionen darüber, ob es sich um eine Tabelle pythagoräischer Tripel, eine Lösung quadratischer Gleichungen oder eine trigonometrische Tabelle handelt.

Altägyptische Mathematik

Die Ägypter hingegen verwendeten im 2. Jahrtausend v. Chr. eine primitive Form der Trigonometrie zum Pyramidenbau. Δ] The Rhind Mathematical Papyrus, geschrieben von dem ägyptischen Schreiber Ahmes (ca. 1680-1620 v. Chr.), enthält das folgende Problem im Zusammenhang mit der Trigonometrie: Δ]

"Wenn eine Pyramide 250 Ellen hoch und die Seite ihrer Basis 360 Ellen lang ist, was ist dann ihre? seked?"

Ahmes' Lösung des Problems ist das Verhältnis der halben Seite der Basis der Pyramide zu ihrer Höhe oder das Verhältnis von Lauf zu Höhe ihrer Fläche. Mit anderen Worten, die von ihm gefundene Menge für die seked ist der Kotangens des Winkels zur Basis der Pyramide und ihrer Fläche. Δ]

Alte indische Mathematik

Die früheste Verwendung von Sinus erscheint in der Sulba-Sutras geschrieben im alten Indien vom 8. Jahrhundert v sie hatten den Begriff des Sinus im allgemeinen noch nicht entwickelt. Ζ]

Hellenistische Mathematik

Die Sehne eines Winkels grenzt an den Bogen des Winkels.

Antike hellenistische Mathematiker verwendeten den Akkord. Bei einem Kreis und einem Bogen auf dem Kreis ist die Sehne die Linie, die den Bogen begrenzt. Die senkrechte Winkelhalbierende einer Sehne geht durch den Kreismittelpunkt und halbiert den Winkel. Eine Hälfte der halbierten Sehne ist der Sinus des halbierten Winkels, d.h. , und folglich wird die Sinusfunktion auch als "Halbakkord" bezeichnet. Aufgrund dieser Beziehung waren auch hellenistischen Mathematikern eine Reihe von heute bekannten trigonometrischen Identitäten und Theoremen bekannt, jedoch in ihrer entsprechenden Akkordform. Η]

Obwohl es in den Werken von Euklid und Archimedes keine Trigonometrie gibt, gibt es im engeren Sinne des Wortes Theoreme, die auf geometrische Weise (und nicht auf trigonometrische Weise) präsentiert werden, die bestimmten trigonometrischen Gesetzen oder Formeln äquivalent sind. Γ] Zum Beispiel Sätze zwölf und dreizehn des zweiten Buches der Elemente sind die Kosinusgesetze für stumpfe bzw. spitze Winkel. Sätze über die Länge von Akkorden sind Anwendungen des Sinusgesetzes. Und der Satz von Archimedes über gebrochene Akkorde ist äquivalent zu Formeln für Sinussummen und Winkeldifferenzen. Γ] Um das Fehlen einer Akkordtabelle zu kompensieren, verwendeten Mathematiker zur Zeit des Aristarchos manchmal den wohlbekannten Satz, der in moderner Notation neben anderen Sätzen /> wann immer /> . ⎖]

Kleinasien

Eine frühe trigonometrische Tabelle soll angeblich von Hipparchos von Nicäa (180 - 125 v. Chr.) erstellt worden sein. ⎗] Hipparchos hat anscheinend die entsprechenden Werte von Bogen und Sehne für eine Reihe von Winkeln tabellarisch dargestellt. Ώ] ⎗]

Obwohl nicht bekannt ist, wann die systematische Verwendung des 360°-Kreises in der Mathematik Einzug hielt, ist bekannt, dass die systematische Einführung des 360°-Kreises kurz nach der Komposition von Aristarchos von Samos erfolgte Über die Größen und Entfernungen von Sonne und Mond (ca. 260 v. Chr.), da er einen Winkel als Bruchteil eines Quadranten maß. ⎖] Es scheint, dass die systematische Verwendung des 360°-Kreises hauptsächlich Hipparchos und seiner Akkordtabelle zu verdanken ist. Hipparchos könnte die Idee dieser Einteilung von Hypsicles übernommen haben, der den Tag zuvor in 360 Teile unterteilt hatte, eine Einteilung des Tages, die möglicherweise von der babylonischen Astronomie vorgeschlagen wurde. ⎘] In der antiken Astronomie wurde der Tierkreis in zwölf „Zeichen“ oder sechsunddreißig „Dekane“ unterteilt. Ein jahreszeitlicher Zyklus von etwa 360 Tagen könnte den Zeichen und Dekaden des Tierkreises entsprechen, indem man jedes Zeichen in dreißig Teile und jede Dekade in zehn Teile unterteilt hätte. ΐ] Aufgrund des babylonischen Sexagesimalzahlensystems ist jeder Grad in sechzig Minuten und jede Minute in sechzig Sekunden unterteilt. ΐ]

Hellenistisches Ägypten

Im römischen Ägypten schrieb der hellenisierte ägyptische Mathematiker Menelaos von Alexandria (ca. 100 n. Chr.) in drei Büchern seine Sphaerica. In Buch I legte er eine Basis für sphärische Dreiecke analog der euklidischen Basis für ebene Dreiecke fest. Η] Er stellt einen Satz auf, der ohne euklidisches Analogon ist, dass zwei sphärische Dreiecke kongruent sind, wenn die entsprechenden Winkel gleich sind, aber er unterschied nicht zwischen kongruenten und symmetrischen sphärischen Dreiecken. Η] Ein weiterer Satz, den er aufgestellt hat, ist, dass die Summe der Winkel eines sphärischen Dreiecks größer als 180° ist. Η] Buch II von Sphaerica wendet sphärische Geometrie auf die Astronomie an. Und Buch III enthält den "Satz von Menelaos". Η] Er gab weiter seine berühmte "Regel der sechs Mengen" auf. ⎙]

Später erweiterte der hellenisierte ägyptische Mathematiker  Claudius Ptolemäus (ca. 90 - ca. 168 n. Chr.) auf Hipparchos' Akkorde im Kreis in seinem Almagest, oder der Mathematische Syntax. Die dreizehn Bücher der Almagest sind das einflussreichste und bedeutendste trigonometrische Werk der gesamten Antike. ⎚] Ein Satz, der für Ptolemäus' Berechnung der Akkorde von zentraler Bedeutung war, war der heute noch als Ptolemäus-Satz bekannte Satz, dass die Summe der Produkte der gegenüberliegenden Seiten eines zyklischen Vierecks gleich dem Produkt der Diagonalen ist. Ein Sonderfall des Satzes von Ptolemäus erschien als Satz 93 in Euklids Daten. Der Satz von Ptolemäus führt zum Äquivalent der vier Summen-Differenz-Formeln für Sinus und Cosinus, die heute als Ptolemäus-Formeln bekannt sind, obwohl Ptolemäus selbst Akkorde anstelle von Sinus und Cosinus verwendet. ⎚] Ptolemäus leitete weiter das Äquivalent der Halbwinkelformel ab . ⎚] Ptolemäus verwendete diese Ergebnisse, um seine trigonometrischen Tabellen zu erstellen, aber ob diese Tabellen von Hipparchos' Werk abgeleitet wurden, kann nicht festgestellt werden. ⎚]

Neither the tables of Hipparchus nor those of Ptolemy have survived to the present day, although descriptions by other ancient authors leave little doubt that they once existed. ⎛]


Menelaus (mathematician)

Menelaus (Auch Menelaus of Alexandria * around 45/50 in Alexandria , † around 110/120 probably in Rome ) was an ancient Greek mathematician and astronomer .

Little is known about the life of Menelaus. It is believed that he moved to Rome from Alexandria after his youth. Both Pappus and Proclus call him Menelaus of Alexandria this suggests that he may have been born there. Plutarch has narrated a conversation with Lucius . Around 98 Menelaus is said to have made astronomical observations in Rome, as Claudius Ptolemy reports. He also proved the Menelaus theorem named after him .

Sphaerica is the only work by Menelaus that has survived in Arabic and Hebrew translations. The book is about the spherical triangles that are important for astronomers . This contains the sentence of Menelaus. The traditional versions of the Sphaerica sometimes differ considerably.

Other books by Menelaus that were still known to the Arabs were the "Elements of Geometry" (of which Thabit Ibn Qurra made a translation that has not survived) in three books, the "Book of Triangles", from which fragments of an Arabic translation were found, and two others Works. Evidence in an Arabic source suggests that the "elements of geometry" also discussed the curve with which Archytas of Taranto doubled the cube.

The lunar crater Menelaus and the Rimae Menelaus are named after the ancient astronomer.


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Bögen Akkorde Sechzigstel
1/20 31 251 2 50
11 2 501 2 50
1 1/21 34 151 2 50
2 2 5 401 2 50
2 1/2 2 37 41 2 48
3 3 8 28 1 2 48
3 1/2 3 39 52 1 2 48
4 4 11 161 2 47
4 1/21 2 47 4 42 40
5 5 14 41 2 46
5 1/2 5 45 271 2 45
6 6 16 491 2 44
6 1/2 6 48 111 2 43
7 7 19 331 2 42
7 1/21 2 41 7 50 54
8 8 22 151 2 40
8 1/2 8 53 351 2 39
9 9 24 541 2 38
9 1/2 9 56 131 2 37
10 10 27 321 2 35
10 1/2 10 58 491 2 33
11 11 30 51 2 32
11 1/2 12 1 211 2 30
12 12 32 361 2 28
12 1/2 13 3 501 2 27
13 13 35 41 2 25
13 1/2 14 6 161 2 23
14 14 37 271 2 21
14 1/2 15 8 381 2 19
15 15 39 47 1 2 17
. . .
. . .
Bögen Akkorde Sechzigstel
. . .
. . .
165 1/2 119 2 260 7 48
166 119 6 20 0 7 31
166 1/2 119 10 6 0 7 15
167 119 13 44 0 6 59
167 1/2 119 17 13 0 6 42
168 119 20 34 0 6 26
168 1/2
119 23 47 0 6 10
169 119 26 52 0 5 53
169 1/2 119 29 49 0 5 37
170 119 32 37 0 5 20
170 1/2 119 35 17 0 5 4
171 119 37 49 0 4 48
171 1/2 119 40 13 0 4 31
172 119 42 28 0 4 14
172 1/2 119 44 35 0 3 58
173 119 46 35 0 3 42
173 1/2 119 48 26 0 3 26
174 119 50 8 0 3 9
174 1/2 119 51 43 0 2 53
175 119 53 10 0 2 36
175 1/2 119 54 27 0 2 20
176 119 55 38 0 2 3
176 1/2 119 56 39 0 1 47
177 119 57 32 0 1 30
177 1/2 119 58 18 0 1 14
178 119 58 55 0 0 57
178 1/2 119 59 24 0 0 41
179 119 59 44 0 0 25
179 1/2 119 59 56 0 0 9
180120 0 00 0 0